反比例函数
姚文琴
◆知识讲解
①一般地，函数y= （k是常数，k≠0）叫做反比例函数，x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．
②反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （k≠0），
当k>0时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y随x的增大而增大．
③反比例函数的解析式y= （k≠0）中，只有一个待定系数k，所以通常只需知道图像上的一个点的坐标，就可以确定k的值．从而确定反比例函数的解析式．（因为k=xy）
◆例题解析
    例1  （2006，湖南常德）如图所示，已知反比例函数y1= （m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图像相交于另一点B．
    （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
    【解答】求两个函数的表达式，应先求出函数式中的待定系数m，k，b，求两个函数图像的交点坐标，可联解两函数表达式，得到一组x，y的值，即可交点坐标．
   （1）∵点A（－2，1）在反比例函数y1= 的图像上．
    ∴1= ，即m=－2．
    又A（－2，1），C（0，3）在一次函数y2=kx+b图像上．
    ∴   即
    ∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=－ 与y=x+3．
    （2）由
    得x+3=－ ，即x2+3x+2=0，∴x=－2或x=－1，于是 或
    ∴点B的坐标为（－1，2）．
    【点评】求两个函数图像的交点坐标，就是解两个函数解析式组成的方程组，求出的一组解即是一个交点的坐标．
    例2  （2006，成都市）如图，已知反比例函数y= （k<0）的图像经过点A（－ ，m），过点A作AB⊥x轴于点，且△AOB的面积为 ．
    （1）求k和m的值；
（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数为│AO│：│AC│的值．
    【分析】（1）由A点横坐标可知线段OB的长，再由△AOB的面积易得出AB的长，即m的值，此时可知点A的坐标由点A在反比例函数y= 上可求得k的值．
    （2）由直线y=ax+1过点A易求出a值．进而可知点C的坐标，在Rt△ABC中易求tan∠ACO的值，可知∠ACO的度数，由勾股定理可求得OA，AC的长．
    【解答】（1）∵S=
    ∴ ?m? = ，∴m=2，又y= 过点A（－ ，2），则2= ，∴k=－2
   （2）∵直线y=ax+1过A（－ ，2）
    ∴2=－ a+1，
    ∴a= ，y= +1．
    当y=0时，x= ，
    ∴C（ ，0），BC=2 ，
    又tan∠ACO= = ，
    ∴∠ACO=30°．在Rt△ABO中，AO= = ，在Rt△ABC中，AC=2AB=4．
    ∴│AO│：│AC│= ：4．

◆强化训练
一、填空题
1．（2006，广安）如图1所示，如果函数y=－x与y=－ 的图像交于A，B两点，过点A 作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为_______．
                
       图1                       图2                       图3
2．（2006，青岛）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可变电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，当用电器的定电流为10A时，用电器的可变电阻为______Ω．
3．（2005，西宁市）如果反比例函数y=－ （x>0）的图像在第一象限，则k_____；写出一个图像在一，二，四象限的一次函数关系式：________．
4．（2005，贵州省）反比例函数y= （m为常数）的图像如图3所示，则m的取值范围是_______．
5．（2005，威海市）已知双曲线y= 经过点（－1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b1）两点在该双曲线上，且a1<a2<0，那么b1______b2．
6．如图4所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于______．
  
        图4                     图5                         图6
7．（2008，福州）如图5所示，在反比例函数y= （x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=_______．
8．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－ ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．

二、选择题
9．（2006，绵阳）如图所示，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图像上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（  ）
A．3      B．        C． －1      D． +1
10．函数y=kx+b（k≠0）与y= （k≠0）在同一坐标系中的图像可能是（  ）

11．（2006，绍兴）如下左图所示，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y= （x>0）的图像上，则点E的坐标是（  ）
A．（ ， ）       B．（ ， ）
C．（ ， ）       D．（ ， ）
                  
12．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度p也随之改变．p与V在一定范围内满足p= ，它的图象如上右图所示，则该气体的质量m为（  ）
    A．1.4kg     B．5kg     C．6.4kg     D．7kg
13．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=1，AB= ，BC=2，P是BC边上的一个动点（点P与点B不重合，可以与点C重合），DE⊥AP于点E，设AP=x，DE=y．在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（  ）
 
14．（2005，宁波市）正比例函数y=x与反比例函数y= 的图像相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（  ）
A．1       B．         C．2       D．
15．（2008，烟台）在反比例函数y= 的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是（  ）
    A．m<0      B．m>0      C．m<      D．m>
16．（2005，南宁市）函数y=ax2－a与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
 
三、解答题
17．（2006，天津市）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图像与反比例函数y= （m≠0）的图像都经过点A（4，2）．
   （1）求这两个函数的解析式；（2）这两个函数的图像还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标；若没有，请说明理由．

18．（2005，四川省）如图所示，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y= 的图像交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA= ，tan∠AOC= ，点B的坐标为（ ，m）．
   （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．
 

19．（2006，广东）如图所示，直线y=k1x+b与双曲线y= 只有一个交点（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线，双曲线的解析式．
 

20．（2006，常德市）如图所示，已知反比例函数y1= （m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图像经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的相交于另一点B．
  （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
 

21．（2005，甘肃省）如图所示，反比例函数y=－ 与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△AOB的面积．
 

22．（2008，金华）如图所示，已知双曲线y= （k>0）与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限，试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为_______； 若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为______．
   （2）如图所示，过原点O作另一条直线L，交双曲线y= （k>0）于P，Q两点，点P在第一象限．
    ①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足条件；若不可能，请说明理由．
 

答案
1．2  2．3.6  3．<0；y=－x+1（答案不唯一，合理即可）
4．m<－   5．<  6．20  7．   8．y=－
9．D  10．A  11．A  12．D  13．B  14．C  15．C  16．A
17．（1）∵点A（4，2）在正比例函数y=kx的图像上，有2=4k，即k= ．
    ∴正比例函数的解析式为y= x．
    又∵点A（4，2）在反比例函数y= 的图像上，有2= ，即m=8．
    ∴反比例函数的解析式为y= ．
   （2）这两个函数的图像还有一个交点．
    由  解得  或
    ∴这两个函数图像的另一个交点坐标为（－4，－2）．
18．（1）过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示．
    在Rt△OHA中，
    ∵tan∠AOC= = ，
    ∴2│AH│=│HO│．
    由勾股定理，得
    │AO│2=（ ）2=│AH│2+│HO│2=5│AH│2，
    ∵│AH│>0，
    ∴│AH│=1，│HO│=2．
    ∴点A（－2，1）．
    ∵点A在反比例函数y= 的图像上．
    ∴1= ，解得k=－2．
    ∴反比例函数的解析式为y=－
    将B（ ，m）代入y=－ 中，得m=－4．
    ∴B（ ，－4）．
把A（－2，1），B（ ，－4）分别代入y=ax+b中，得 ，
解得a=－2，b=－3．
    ∴一次函数的解析式为y=－2x－3．
    （2）∵│OD│=│b│=3．
∴S△AOB=S△AOD +S△BOD= │b│?│x│+ │b│?│x│
= ×3×2+ ×3× = ．
19．直线解析式为y=－2x+4
    双曲线解析式为y=
20．（1）∵点A（2，－1）在反比例函数y1= 的图像上．
    ∴1= ，即m=－2．
    又A（－2，1），C（0，3）在一次数y2=kx+b图像上．
    ∴ 即
    ∴反比例函数与一次函数解析式分别为：
    y=－ 与y=x+3．
    （2）由
    得x+3=－ ，即x2+3x+2=0．
    ∴x=－2或x=－1．
    于是  或
    ∴点B的坐标为（－1，2）．
21．（1）解方程组  得
    ∴A，B两点的坐标分别为A（－2，4），B（4，－2）．
   （2）∵直线y=－x+2与y轴交点D的坐标是（0，2）．
    ∴S△AOD = ×2×2=2，S△BOD = ×2×4=4．
    ∴S△AOB =2+4=6．
22．（1）（－4，－2）  （－m，－k′m）或（－m，－ ）
   （2）①由勾股定理OA= ，
    OB= = ，
    ∴OA=OB．
    同理可得OP=OQ，
    ∴四边形APBQ一定是平行四边形．
    ②四边形APBQ可能是矩形，
    m，n应满足的条件是mn=k．
    四边形APBQ不可能是正方形．
    理由：点A，P不可能达到坐标轴，即∠POA≠90°．