主持人 姓 名

庄晓燕庄常澄

性别

女

民族

汉

出生 年月

1981.10

职务

教师

专业技术职称

中学一级

现担 学科

数学

最后学历

本科

最后学位

硕士

现任年级

高一

所属教研组

高中数学

通讯地址

常州市武进区礼嘉中学

联系电话

13584369502

电子信箱

57393226@{域名已经过期}

课题组成员基本情况

姓名

专业技术职称

担任课程年级

担任学科

在课题组中的分工情况

庄常澄

中学高级

高一

数学

理论指导，开设实验课

谭晓春

中学高级

高一

数学

理论指导，开设实验课

金立亚

中学一级

高一

数学

负责观察比较，撰写反思

沈蓉

高一

数学

负责管理课题组相关资料和数据

研 究 背 景 及 价 值	背景：数形结合作为数学教学中非常重要的思想萌芽于古希腊，欧几里德就著有《几何原本》，后到十七世纪笛卡尔建立平面直角坐标系并发表了《几何学》。后来费马用代数方法研究古希腊的几何学，发表著作《平面与立体轨迹引论》，自此后，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。我国的数形结合开始与公元前十五世纪的甲骨文记载，在其中就有了“规”和“矩”二字的存在规是用来画圆的，矩是用来画方的。汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理。中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果。近代来，我国著名的数学家就说过：“数缺形式少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，不过由于数形结合思想应用范围极为广泛，所以，我以为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间 。 研究价值：数形结合思想在高中数学中占有重要的地位，其“数”与“形”的结合，相互渗透，把代数式的精确刻画和几何图形的直观描述相结合，是代数问题几何化、几何问题代数化，使抽象思维和形象思维有机结合。在高中的学习中，数形结合思想在数学和物理等学科的解题中都占有很重要的位置，并且是必须账务的部分，由此可见数形结合思想在高中数学中有重要的价值。
研 究 目 标	1.帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。  2.培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 3.促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。
研 究 内 容	1.教师合理引导学生树立数形结合的数学学习思想的研究。数形结合思想的学习和培养过程并不是一蹴而就的简单过程，教师在进行日常教学的过程中，利用一切能够利用的机会，充分向学生展示数形结合思想的优点．例如，教师在进行集合、函数等内容的授课中，可以向学生体现数——形对应转化的全部过程，同时在进行问题求解的过程中，要教会学生怎么借助于数的精确来论证。 2.在解题的过程中，加强学生对数形结合思想训练的策略研究。教师在学生进行解题的过程中，有意识地将数与形进行有效结合，提升学生的解题能力与分析能力，有效地促进学生的创新意识，培养学生的学习能力，并且让学生真正掌握到数学学习的方法。 3.高中数学教师树立牢固的数形结合的数学教学思想的研究。首先，要求教师根据教学大纲对教材进行深入地钻研，并且根据学生的实际情况认真准备教学的各个环节；其次，教师还应该结合数形结合的教学思想对教学的内容进行总结和归纳，并且逐步在日常的教学活动过程中，形成一种潜意识贯穿数形结合思想的教学习惯，只有这种潜移默化的教学习惯才能够有效地帮助学生，在学习的过程中养成数形结合的思考和学习的思维和方法。
研 究 方 法	1.观察法   查阅有关的理论书籍、文章，了解数形结合思想的内涵、发展情况和目前的研究成果等信息，使本课题的研究内涵和外延更加丰富，更加明确，更加科学。    2. 调查法   运用调查研究，收集、整理、分析调查分析学校数学教师在数学教学中渗透“数形结合”思想的大致情况，以及学生在运用“数形结合”解决问题过程中遇到的问题。   3.实验法   各成员每学期开设实验课，让学生在感知、理解、巩固应用的基础上，真正掌握数形结合的数学思想，并使之最终成为自己有效的解题工具。
实 施 步 骤	1、第一阶段：准备阶段：2015.9.1—2015.9.10 完成课题申报、立项及研究方案的设计工作，组建课题组，明确课题任务，组成研究队伍。 2、第二阶段：实施阶段2015.9.22—2016.6.5 （1）随着课题的研究与实践，帮助学生树立数形结合的观点，学会运用数形结合思想观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。  （2）实施课题研究，促使实验教师对数形结合思想方法有系统的认识，明确其地位及作用。课题组成员对运用数形结合思想的教学内容、教学方法有更多的了解，并逐渐在日常教学中尝试运用，促进自己教学意识与教学行为的改变。  （3）积累资料进行案例分析研究，进行总结反思，调整行动方案，深入研究。 3、第三阶段：总结阶段2016.6.6—2016.6.30 课题组教师把通过探索得到的经验、体会和结论形成文字，上升到理论高度，初步完成课题深化研究实验报告，继续研究并推广已取得的成果。
预 期 成 果	1.预期的社会价值：能够在高中数学中找到简洁、形象、准确的解题方法。并在数学教学中培养学生的发散思维，提高学习兴趣。  2.有关“高中数学教学中数形结合思想方法的实践研究”成功资料或案例。  3.相关教学论文发表或获奖。 4.课题研究报告。

第一学期课题研究计划

1、介绍选题缘由，向全组老师介绍本课题的研究内容及其方向，请各位老师根据自己的教学实际情况来确定课题研究的内容和研究的方法与措施。   2、由主持人介绍本课题的内容，指导学生自学离不开常态教学，因此本课题紧扣着常态教学的一些方面来进行主要的研究，从而界定课题研究的范围。   3、请组内老师根据自己的具体情况选择课题研究中的选题方向，并且选择和确定更为详细的研究方法与策略。   4、分组完成课题研究的研究策略制定。   5、具体课题研究内容：   （1）教师合理引导学生树立数形结合的数学学习思想的研究。数形结合思想的学习和培养过程并不是一蹴而就的简单过程，教师在进行日常教学的过程中，利用一切能够利用的机会，充分向学生展示数形结合思想的优点．例如，教师在进行集合、函数等内容的授课中，可以向学生体现数——形对应转化的全部过程，同时在进行问题求解的过程中，要教会学生怎么借助于数的精确来论证。 （2）在解题的过程中，加强学生对数形结合思想训练的策略研究。教师在学生进行解题的过程中，有意识地将数与形进行有效结合，提升学生的解题能力与分析能力，有效地促进学生的创新意识，培养学生的学习能力，并且让学生真正掌握到数学学习的方法。 （3）高中数学教师树立牢固的数形结合的数学教学思想的研究。首先，要求教师根据教学大纲对教材进行深入地钻研，并且根据学生的实际情况认真准备教学的各个环节；其次，教师还应该结合数形结合的教学思想对教学的内容进行总结和归纳，并且逐步在日常的教学活动过程中，形成一种潜意识贯穿数形结合思想的教学习惯，只有这种潜移默化的教学习惯才能够有效地帮助学生，在学习的过程中养成数形结合的思考和学习的思维和方法。 课题研究的部分内容，可以根据研究的过程进行添加，进行部分的修改，能够让研究更加贴近教学的实际和学生学习的实际情况，最后形成有实用价值的研究结果。

时间		10.9		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄晓燕		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			数形结合思想在函数中的应用
活动主要内容（不够填写另附纸）	数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。 （一）数形结合的简介 （二）函数数形结合的应用 1.图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现， 图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在 2.构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。 3.高考数学填空压轴题中的数形结合思想。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
感 悟	著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。初中数学函数是学生建立数形结合思想方法的关键时期，初中生经历感悟数和形的辨证统一思想，“直观”、“ 入微”的形数意识的对学生的数学能力的提升有积极的作用。

时间		11.10		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄常澄		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			2015高考数学“拿分题”训练：数形结合思想在解题中的应用
活动主要内容（不够填写另附纸）	1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。  2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。  3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。  4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
感 悟	在使用数形结合思想解题时，出现的问题不局限做草图，所以在应用数形结合法解题时应注意三个问题：  1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系  2、通过坐标系做好“数”与“形”之间的转化  3、正确确定变量的取值范围。

时间		12.9		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄晓燕		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			新课程高一数学教学中的“数”与“形”
活动主要内容（不够填写另附纸）	数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。 “数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在高一数学教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。
感 悟	教师可以通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。但如何进一步提高数形结合法解题的能力，必须积累解题的经验,才能享受到成功的喜悦。

教者	庄晓燕		学校	礼嘉中学	时间	2015年12月10日
课题	平面向量基本定理				课时	1课时
研究 重点	平面向量基本定理及其应用
实验课范围		区级			班级	高一（2)班
主　要　教　学　过　程（或教案）
一、复习：已知向量，求作向量-2.5＋3 二、意义构建 问题1：已知平面中三个向量e1，e2，c，求向量c＝___e1＋___e2． 请同学们自己作出一向量e1、e2，并把向量d表示成：向量d＝____e1＋_____e2 由刚才的实例，可以得出结论：如果给定向量e1， e2，平面内的任一向量a，都可以表示成                 ．问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝l1e1＋l2e2的形式吗?           ，e1，e2必须是平面内两             向量． 平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，               一对实数l1，l2，使a ＝ l1e1＋ l2e2． 我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组               ． 一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝l1e1＋ l2e2的形式，我们称它为向量的                ．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的               ． 说明： 三、数学应用 例1. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，AB＝a，AD＝b，试用基底a，b表示MC，MA，MB和MD． 分析：利用关系式AC＝AB＋AD和MC＝2(1)AC来求解． 变式1：DABD中，M是边BD的中点，且AB＝a， AD＝b，用a，b表示AM，MB． 例2  设,是平面内的一组基底，如果＝3-2，＝4＋, ＝8-9．求证：，，三点共线． 四、课堂小结 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量e1，e2的线性组合，且e1，e2是这一平面内所有向量的一组基底．

时间		2015.12.10		地点	阅览室	参加对象 及应到人数	教研组	实到人数	20
主持人		白奕波		活动 形式	研讨和评课活动
活动目的 （范围、方法）			《2.3.1  平面向量基本定理》评课
活动主要内容	本节课充分体现了新课程的教育理念，通过丰富的学生活动，让学生感受、体验了知识发生发展的过程，适应了每个学生的发展．具体表现在如下几个方面： 1．目标定位准确：平面向量基本定理是共线向量定理的延续，是向量坐标表示的前奏．本节课的教学目标是理解“平面向量基本定理”的必要性和可行性，会用平面向量基本定理解决有关向量问题，体验化归与转化的思想． 2．教学重点突出：本节课的重点是“平面向量基本定理”．课堂教学中，围绕“平面向量基本定理”，教师与学生一起分析引入“平面向量基本定理”的合理性，以“平行四边形法则”为纽带，实现了“向量语言”、“几何语言”、“代数语言”三种表示方法的相互转化． 3．教学情境合理：教师从具体的物理背景入手，以几何背景(有向线段)为主线，平行四边形法则为工具，通过几个不同的实例，感受平面内的任意一个向量都可以用该平面内两个不共线的向量线性表示，体会“在一组基底下，平面内的向量与有序实数对之间具有一一对应的关系”. 4．教学活动丰富：从物理背景“火箭的速度可以分解成水平方向上的分速度和竖直方向上的分速度”，抽象出“根据平行四边形法则，平面上的向量也可以分解成两个不同方向上的两个向量”，到写出平面上给出的几个向量用平面上给定的两个不共线的向量表示，发现“如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于同一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2”，充分体现了学生在学习过程中的主体地位和作用．
评   价	每当学生表述或板演子集的见解后，教师都给予积极的评价“好”，自然、得体，既不露痕迹地肯定了学生的学习活动，鼓励了学生的自主学习、自主思考、善于表达、自主交流的学习行为，又让学生体会到了学习的乐趣，享受了成功的快乐．

教者	沈蓉		学校	礼嘉中学	时间	22015年12月23日
课题	向量的数量积（2）				课时	1课时
研究 重点	向量数量积的坐标表示，探究发现公式，应用公式解决问题
实验课范围		校级			班级	高一（6）班
主　要　教　学　过　程（或教案）
一课前预习 1、. 2、. 3、轴上的单位向量,轴上单位向量 ,则,,. 二、课题引入 提出问题 1、向量的数量积能否用坐标表示？ （1）设,是轴上的单位向量,是轴上单位向量,用,表示,.. （2）向量的数量积坐标表示 例1 已知,求. 变式 已知,求. 2、向量的长度 （1）设,则. （2）两点间距离公式,则. 思考：如何用向量方法推导两点间距离公式?(设的起点为,终点为) 3、 夹角公式 （1）,是,的夹角 （2）用坐标怎样表示? 4、 向量垂直 设,  例2 在中,设且是直角三角形,求的值.  变式 将题目改成三角形是以为钝角的钝角三角形,求的范围. 练习 已知. （1） 求. （2） 当为何值时,. 三、归纳总结 四、布置作业练习本P53-33

时间		2015.12.23		地点	阅览室	参加对象 及应到人数	教研组	实到人数	13
主持人		白奕波		活动 形式	研讨和评课活动
活动目的 （范围、方法）			《向量数量积（2）》评课
活动主要内容	《数学课程标准》指出：“数学教学，要紧紧联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境。”过去的“复习导入”、“直接导入”等新课导入方法大多被“创设情景”导入法所代替，内容生动、学生熟悉、感兴趣的教学情境层出不穷，课堂所追求的“让学生真正成为主体，拥有学习主动权”，在预设好的情境和师生的共同努力下得以落实。这节课都体现了这一特点。 课堂练习是检查认知目标的主要手段，沈老师安排一个紧凑、短时、有效的课堂练习检查学生的学习效果和教师的教学效果。有效的课堂练习为教师提供教学反馈，从而修改教学方案、提高课堂教学效益。实践表明，有效的课堂练习也是减轻学生课业负担的必要手段。 教学方法以一中模式为载体，变教为探，环环相扣。本课中通过鼓励学生动手、动笔，让学生经历知识的形成过程。通过学生间的交流、小组讨论、同桌合作，引领学生通过自己的探索来获取知识，改变以往教师的教和学生的学的方式，我们看到的是“自主、探究、合作”的学习方式，学生是学习的主人。
评   价	沈老师所讲的这一课，是平面向量这一章中教学的一个重点，而老师通过深度挖掘教材，精心地设计教学环节和内容，巧妙地运用一中的教学模式，突破了重点，突出了难点，使学生循序渐进地接受了新知，给人以水到渠成的感觉。

时间		11.1		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄晓燕		活动 形式	组织学习
活动目的 （范围、方法）			教师在备课中如何指导学生数形结合
活动主要内容	教师授课在课堂，但备课在课外，如何在备课之时指导学生 自学是课题研究的主要方面，主要研讨内容如下：   1、指导学生自学背景：充分发挥学生学习的自主性；课堂教学时间减少，更多的时间在于学生的自主学习；五严规定之下的学习方式改变。   2、备课中指导学生自学的几项措施：   （1）制定合适的预习导纲；   （2）制定符合课堂教学内容的学习提纲；   （3）制定详细的复习提纲。   3、课堂教学中在哪些环节中穿插学生自学活动，是备课中的主要思考方面。根据讨论的过程，整理结果如下：   （1）备课之前要留给学生自主学习的余地，在备课中充分考虑到这一点，在授课过程中把学生自学的时间和内容要做好规划；   （2）在备课中要把学生自主学习的内容在备课中做好计划，要明确为什么要设定次部分内容为学生自主学习内容，自主学习之后要得到什么效果，在备课之前要充分考虑好这些内容；   （3）备课之前要考虑好学生自主学习内容安排的必要性，不要为了完成形式而安排自学教学，走表面形式，要归到实处。
感 悟	“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解。“数”上构“形”：很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解，以上两者之间是相互联系的。

一．文献研究目录
序号	题　　　　　　目							作  者
1	数形结合思想在函数中的应用							杨金宝
2	2015高考数学“拿分题”训练：数形结合思想在解题中的应用							胡春燕
3	新课程高一数学教学中的“数”与“形”							张曼
二．课题研究活动情况
序号	活动时间	活动形式或主要内容						效   果
1	10.9	理论学习						好
2	11.10	理论学习						好
3	12.10	《平面向量基本定理》评课						好
4	12.23	《向量的数量积（2）》评课						好
三．开设实验（或研究）课情况
序号	时间		课　　　　　题		班级		效  果
1	12.10		平面向量基本定理		2班		好
2	12.23		向量的数量积（2）		6班		好
四．课题研究成果（教师竞赛、论文发表或获奖）
序号	题　　　　　目			时  间		发表或获奖
1	把握考纲，夯实基础，突出重点，精练精讲			2015.8		省级交流
2
五．课题研究成果（学生竞赛、作品发表或获奖）
序号	题　　　　　目			时  间		发表或获奖
1

数与形，是两个最古老，最基本的研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。数形结合，就是把问题的数量关系转化为图形的性质，把图形性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。它主要有两个方面：以“数”解“形”，以“形”助“数”。  一、 以“数”解“形”——把复杂的过程简单化  函数图象形象地展示了函数的性质，为我们研究数量关系提供了“形”的基础，因此在这类函数的问题中，我们应抓住特殊的点，及其所表示的实际意义，从而把复杂的过程简单化，把几何的问题代数化。在函数中，沟通“数”与“形”的就是图象，根据图象上的点坐标满足解析式，找到横纵坐标之间的联系，过点向坐标轴作垂线，坐标又能应用于构造直角三角形，易求线段的长度，图形的面积等几何量，从而将不规则的图形、难求的数量关系转化成规则的、易求的，将复杂的过程简单化。  二、 以“形”助“数”——把抽象的问题具体化  很多问题，仅从代数角度考虑，很难入手，如果借助图象的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化，形象化，给人以直观的感受，那么很多难题都将迎刃而解。在数学学习过程中，通过以“形”助“数”，突出图的形象思维，促进形象思维和抽象思维的有机结合，往往会收到事半功倍的效果。  三、“数”“形”结合——把实际的问题模型化  函数的魅力在于，它可以把现实生活中比较复杂的、变化的问题通过函数模型加以解决。从数的角度，函数就像一部机器，对于每一个不同的情况所对应的自变量，通过函数的“加工”就能找到对应的函数值。在遇到情境复杂的实际问题时，需要把数和形结合起来，建立函数模型加以解决。在实际的应用问题当中，在多个变量之间寻找一个有关联的自变量，建立函数模型，再进一步从“数”的角度——函数解析式、“形”的角度——函数图象和性质进行探究，往往给人以柳暗花明又一村的惊喜。  数形结合就是把数的严谨与形的直观有机地结合起来，发挥图形的辅助作用，完成抽象概念与形象图形的互相转化，化难为易，化抽象为具体。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在教学中用好数形结合的思想，能提高课堂质量，提高学生学习数学的能力，因此，数形结合思想的渗透是一个长期的过程，应贯穿在整个数学学习过程中。

第二学期课题研究计划

本学期主要研究两个方向： 一、数形结合与不等式  在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有三大类： 1.解不等式。这一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。 2.已知不等式组求参数的范围. 第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值或范围 3.求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立． 二、解析几何中的数形结合  解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.    1. 与斜率有关的问题  2. 与距离有关的问题 3. 与截距有关的问题 4. 与定义有关的问题 数形结合的应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。  在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意四点：  第一要掌握某些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；  第二是恰当设参、准确定参（范围）、合理用参，做好数形转化； 第三是要正确画出草图，否则不但不能使问题变得更简单，反而会使问题变得更复杂或是弄错结论。在画草图时，如果你把本不相等的线段画成相等，或把相等的线段画成明显的不相等，甚至把大小、长短画反，那就容易造成分析时的错觉。  第四是除开利用概念的几何意义进行数与形的转化之外，就是一般的图形也可以帮助我们寻找解题途径（图形辅助）。

时间		3.9		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄晓燕		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			数形结合在不等式中的应用
活动主要内容（不够填写另附纸）	在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有两大类：       第一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。 第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。  既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式  第二步：做出f（x）和g（x）的函数图像  第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是不等式的解集，我们 要求的就是()fx的图像在()gx的上方时 x的取值范围 第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值问题，这个要求的量又可以看成一个函数的参数，这个时候你只要把这个函数的图像作出来，然后就可以在这个给定的区域内求出这个参数的最值问题。 这类题目的大思路是这样的：  第一步：由给定的不等式条件求出x,y所在的区域  第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量看成是一个参数 第三步：在这个区域内作出f(x)的图像 第四步：求出这个参数的最值
感 悟	数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

时间		4.27		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄常澄		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			数形结合的思想方法--应用篇
活动主要内容（不够填写另附纸）	数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。  数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 解题方法指导 1．转换数与形的三条途径：  ① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。  ② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。  ③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：  ①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。  ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。  ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
感 悟	同是数形结合，也有不好与好之分，只有把握住“结合”  这一数形结合法的核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样性，变成解题的灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略，例如要画的若是函数图象，那就要设法让要画图象的函数尽可能少含参变量，最好不含参变量，如果一定要含有，也要设法让它在较低次的函数（如一次函数）或在简单函数中含有.只有这样，才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法.

时间		6.1		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄常澄		活动 形式	理论学习
活动目的 （范围、方法）			数形结合巧解解析几何问题
活动主要内容（不够填写另附纸）	解析几何的基本思想是用代数的方法(即坐标方法)研究几何问题．但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质．在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖，各显神功．圆是特殊图形，在初中平面几何中我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等．另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形内角和定理等等．在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量,使问题变得简单明了，解法漂亮，避免复杂计算． 1.求轨迹问题  2.求值问题  3.求范围问题   3.求范围问题  4.求最值问题 5.求证明问题 “数形结合”是常用的数学思想之一，在学习解析几何的过程中，即要善于运用坐标法解题，还要注重圆锥曲线的定义在解题中的运用，注重解析几何所研究的问题背景，平面几何的一些性质的运用，优化解题思维，避免繁琐的推理与运算，近而达到事半功倍的效果！
感 悟	在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的，“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的.相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比较简捷比较容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”.

教者	沈蓉		学校	礼嘉中学	时间	2016.5.24
课题	两条直线的平行与垂直（2）				课时	1课时
研究 重点	掌握判断两直线垂直的充分条件
实验课范围		校级			班级	高一（5）班
主　要　教　学　过　程（或教案）
一、引入新课 1、学生活动：探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？ 不妨设直线l1，l2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k1，k2． (1)两直线垂直 一般地，设直线l1，l2（斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则 思考：如果直线l1，l2的斜率有一个不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直? 例1（1）已知四点A（5，3），B（10，6），C（3，－4），D（－6，11），求证：AB⊥CD； （2）已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A（3a，－2），B（0，a2＋1），且l1⊥l2，求实数a的值． 例2　已知三角形的顶点为A（2，4），B（1，－2），C（－2，3），求BC边上的高AD所在的直线 (2) 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，那么两条直线垂直的等价条件为 已知，且直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，则可设直线l2：__________________.    二、练习巩固 1．求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线的方程． 2．已知直线l ￠与直线l：3x＋4y－12＝0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l ￠的方程． 三全课总结 两条直线垂直的等价条件是什么？

时间		2016.5.24		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	教研组	实到人数	13
主持人		白奕波		活动 形式	研讨和评课活动
活动目的 （范围、方法）			评课《两条直线的平行与垂直（2）》
活动主要内容（不够填写另附纸）	整节课的学习沈老师准备得比较充分，清楚知道学生应该理解什么，掌握什么，学会什么．她是学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生是一个发现者、探索者，有效地发挥他们的学习主体作用．沈老师是让学生“体会知识”，而不是“教学生知识”，学生成了学习的主人，突出学生的主体地位．另外沈老师教态自然大方，语言、表情亲切，面部表情丰富，声音抑扬顿挫，有助于调动课堂气氛，引起学生的兴趣和注意．情绪控制较好，能较好地组织教学，教师的基本功扎实，能较好地起到示范的作用．总的来说沈老师的这节课上得非常成功．我一直都有这种教法观念：让“学生学会求知”比让学生掌握知识本身更重要，在教法过程中我们要从人的固有特性出发发展学生的自主性、独立性和创造性，教师的教要为学生的学服务，数学教法要注重学生思维能力的提高，联系学生的生活实际，发展学生的数学思想和数学方法，提高学生应用数学的意识和解决问题的能力．沈老师对知识的形成过程也比较重视，但对有些细节方面没有能够阐述清楚．在从几何特征过渡到数量特征时，也让学生去探索总结，但对于为什么要作垂直，没能告诉学生其中的道理，这样学生可能只知其然，而不知其所以然，不能理解数学的本质．
评   价	由于数学学科抽象、严谨的特点和数学学习的“再创造”要求比其他学科高，数学教材不能完全适应学生的理解力、思维力和想像力．数学教师更多的责任恰恰就在于他应当通过自己的“创造”为学生展现出“活生生”的思维活动，从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成建构活动．

教者	庄晓燕		学校	礼嘉中学	时间	2016.6.1
课题	直线与圆的位置关系				课时	1课时
研究 重点	直线与圆的位置关系的判断方法．直线与圆相关问题．
实验课范围		校级			班级	高一（2）班
主　要　教　学　过　程（或教案）
一、问题情境 问题1　初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 教师通过幻灯片展示直线与圆的位置关系，学生回答． 问题2　如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 二、建构数学 方法1：直线与圆的位置关系的判定方法：几何法． 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： d＞r——相离d＝r——相切d＜r——相交 注：师生互动，共同总结判定方法，体会逻辑思维的严密性． 方法2：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：代数法 设方程组的解的个数为n，则有 △＞0T n＝2T相交；△＝0T n＝1T相切；△＜0T n＝0T相离． 三、数学运用 教材例1、例2、例3 练习． 四、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．直线与圆位置关系； 2．判断直线与圆的位置关系的方法：（1）代数法；（2）几何法． 3．数学思想：数形结合和分类讨论的思想．

时间		2016.6.1		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	教研组	实到人数	13
主持人		白奕波		活动 形式	研讨和评课活动
活动目的 （范围、方法）			评课《直线与圆的位置关系》
活动主要内容（不够填写另附纸）	这节课从数到形，从形到数，数形结合又相互转化，学生从怀疑到肯定，从迷茫到清晰，直至明确直线与圆的位置。在这一过程中不断的感受着数学文化的神奇与博大。庄老师充分展示了教育的智慧，充分展示了数学之美。 整节课分为四个环节，各环节层层递进，环环相扣，循序渐进，没有一点拖泥带水之感，课堂设计具有整体美。 教师应通过自己的“创造”，充分发挥教学活动的感染力量．由于数学研究是一种创造性的劳动，我们的数学教师就应通过自己的示范使学生体会到这样工作和学习的内在乐趣．一个好的数学教师要通过自己的教学使学生受到强烈的感染，从而激发他们对数学的兴趣和热爱，激发对美的追求．如，教师阐述所授内容时，将抽象的概念具体化，深奥的哲理形象化，枯燥的知识趣味化，唤起学生强烈的探求新知识的欲望．教师应通过自己的“创造”，协调好师生的双边活动．教学的对象具有主体性，他们是活生生的人，在教学中不是被动地接受“塑造”，而是以主体的身份参与“塑造”自我的过程．一堂好课须由师生双方共同创造，教学艺术的出发点便是师生在教学中的交流与合作．教学的成功与否，主要看教学活动中，教师与学生的参与程度和积极性水平，以及师生关系是否融洽，能不能心领神会地默契配合与协作，能否做到思维共振与感情共鸣．
评   价	教师以新的课改理念为指导，注重学生认识发展水平，关注学生学习过程和方法、兴趣和愿望、情感、态度、价值观。教师注重引导学生从统计图的"原始信息"中，不断鼓励学生尽量说与别人不同的问题，多角度地去进行"选择"、"加工"信息，直至"发布"信息，训练学生求异思考，发散思维。

时间		518.		地点	图书馆	参加对象 及应到人数	5	实到人数	5
主持人		庄晓燕		活动 形式	组织学习
活动目的 （范围、方法）			数形结合及其误区
活动主要内容（不够填写另附纸）	初等数学历来被划分为代数和几何两大分支，前者偏重于数的分析，而后者则偏重于形的研究。但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观，或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析，许多数学问题都难以高质有效的解决。形是数的翅膀，数是形的灵魂。数形结合的思想，实在是广大考生应考前必须反复训练好的基本思想。  1.运用数形结合思想解数学题有什么好处？图形语言是最简洁精练的语言，利用数形结合常能快速直观地找出正确答案. 使用数形结合的方法，可以快速检验答案的正确性. 2.在解题中如何正确使用数形结合的方 法？用数形结合的方法解题，首先要全面正确的理解题义，读懂题图所包含的图形语言.用数形结合思想指导解题，应该达到简洁明快的效果.如果达不到这种效果，甚至造成解法更为繁琐，那就无异于画蛇添足，失去了数形结合的意义.的理解题义，读懂题图所包含的图形语言.这是顺利解题的前提；用数形结合的方法解题，首先要全面正确对数据的科学分析，是用数形结合方法正确解题的基础.否则，仅凭随意的几何作图，常会导出错误的答案. 只有对图形的变化情况进行全面的分析，才有可能避免误解，漏解或重解. 数形结合的误区，其表现形式有三： 一是不问解题是否需要，强行‘结合’，搞形式主义；二是形有余而数据分析不足，造成解法粗糙，出现误解；三是数有余而形不足，使解法不够丰满，或出现漏解或重解.
感 悟	高中新课标中明确地把数学思想纳入基础知识的范围，这说明课程改革注意到了数学思想方法的重要性．数形结合思想是数学思想方法的重要内容之一，用数形结合思想解题可以通过直观，把问题化抽象为具体、化繁为简、化难为易，使得问题的求解过程变得简洁明了．但数形结合方法并不是万能的,在用数形结合思想解题的过程中还要考虑图形的准确性、存在性等。

一．文献研究目录
序号	题　　　　　　目							作  者
1	数形结合在函数及不等式中的应用							朱典钱
2	数形结合的思想方法--应用篇							王志敏
3	数形结合巧解解析几何问题							张晓宁
二．课题研究活动情况
序号	活动时间	活动形式或主要内容						效   果
1	3.9	理论学习：《数形结合在函数及不等式中的应用》						好
2	4.27	理论学习：《数形结合的思想方法--应用篇》						好
3	5.18	理论学习：《数形结合及其误区》						好
4	6.1	理论学习：《数形结合巧解解析几何问题》						好
三．开设实验（或研究）课情况
序号	时间		课　　　　　题		班级		效  果
1	5.24		《两条直线平行与垂直（2）》		高一（5）班		好
2	6.1		《直线与圆》		高一（2）班		好
3
四．课题研究成果（教师竞赛、论文发表或获奖）
序号	题　　　　　目			时  间		发表或获奖
1
2
五．课题研究成果（学生竞赛、作品发表或获奖）
序号	题　　　　　目			时  间		发表或获奖
1
2

一些能用“数形结合”巧解的题目，学生在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。笔者认为，学生出现这样的问题，老师肯定是有责任的。  问题应该是出在前面两年打基础的时候。所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目的地强化了一些细节，具体做法如下：  第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如：  在必修5第二章“数列”内容中，用函数图像表示出等差等比数列的通项公式，这样学生就能很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。把等差数列的前n项和公式画成函数图像，就能帮助学生理解等差数列的Sn的最值问题。  在必修5第三章“不等式”内容中，在解一元二次不等式时，结合二次函数图像，着重分析其几何意义，从图象上找出题目的答案。  在必修2第二章“立体几何”内容中，在时间允许且学生学有余力的情况下，适当介绍建立空间直角坐标系后用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行运算的方法，让学生体会到将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算的妙处。  一句话总结，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为以后做题时学生的主动“数形结合”打好基础。  第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。  在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。  还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案。对于这类题目，笔者认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等。这些做法目的很明确，就是要培养学生的“主动数形结合”能力。

学   校   课   题   鉴   定   小   组   意   见	鉴定小组成员（签名）：                                                                                                                       年   月   日
教 科 室 审 核 意 见	教科室盖章:    等　第　　　　　　　　　 负责人（签字）： 年   月   日
学 校 教 科 研 领 导 小 组 审 核 意 见	学校盖章 :   负责人（签字）：   年   月   日

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