数列中的数学思想

江苏省常州市武进区礼嘉中学高中数学       庄晓燕  庄常澄　　

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光，数列问题中同样如此。　　

一、数列中的方程思想：　　

等差数列有两个基本量，等比数列有两个基本量，等差与等比数列的两个基本问题都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个关于基　本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法．　　

例1　在等比数列中，　　

如果           .　　

分析　以等比数列的首项和公比为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.　　

解　，．　　

变式　已知等比数列中前8项的和，前16项的和，求.

解　设的公比为，当时，，

，       故.

得    带入（1）式可得，

.　　

点评　解题过程中应注意对等比数列中这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需要有整体思想，即必须把当成一个整体来解.

二、数列中的化归与转化思想：　　

我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决．　　

例2　已知数列满足，且，　　

（1）证明数列是等比数列；   （2）求数列的通项公式.　　

解　（1）令，故只需证是等比数列，　　

，，　　

数列是以为首项，为公比的等比数列.　　

即数列是以为首项，为公比的等比数列.　　

（2），即，　　

∴.　　

变式　已知数列的前项和满足，且，　　

（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和.　　

解　　　

令，故只需证是等比数列，　　

，，　　

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.　　

即数列是以为首项，为公比的等比数列.　　

（2），即    ∴.　　

三、数列中的函数与数形结合思想：　　

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前项和公式都可以看成的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析，加以解决．　　

例3　已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且（），若，,则的大小关系为        .　　

分析　（方法一），，所以．　　

（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（）时是定义在正整数集上的指数函数．由，知两函数有两个交点如图，显然，而且当N时都有，当时，.　　

数列中的方程思想：基本量法是通法，要注意运算技巧； 数列中的化归与转化思想：将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破点；数列中的函数与数形结合思想：构造函数，用图象辅助，能起到出奇制胜的效果。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

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